対象AとBが与えられたとき、圏論はAやBの内部をすぐには調べません。代わりに、「AからBへどのような射を引けるか」と尋ねます。その答えを一つに集めたものがHom集合です。集合の圏なら関数、位相空間の圏なら連続写像、群の圏なら群準同型が並びます。同じAとBでも、どの圏に置いたかによってHom集合の顔ぶれは変わるのです。
ただし、射を袋に集めるだけでは圏論らしさの半分しか見えません。別の射と合成すると、その袋全体が別のHom集合へ移ります。この動きを追うのがHom関手です。一点集合から出る関数は要素を、二点集合へ入る関数は部分集合を、ある特別な空間へ入る連続写像は開集合を映し出します。対象を直接開けず、そこへ出入りする射を変化ごと観察する。Hom集合とHom関手は、そのための精密な測定装置です。
二つの対象の間にある射を集めるHom集合
圏Cの対象Aから対象Bへの射をすべて集めたものを、HomC(A, B)と書きます。圏が明らかなときは、添字のCを省いてHom(A, B)とするのが一般的です。「Hom」はhomomorphismに由来しますが、ここへ入るのは狭い意味の準同型だけではありません。Cで射と定めたものが、そのままHom集合の要素になります。
たとえばSetでは、HomSet(A, B)はAからBへの関数全体です。Topなら連続写像、Grpなら群準同型、順序集合を圏とみなした場合はA ≤ Bのときに存在する一本の射。Hom集合は対象だけで決まるのではなく、「何を射として認める圏なのか」を反映するわけです。
射が一本もなければHom集合は空集合になり、複数の射があれば、それぞれを別の要素として持ちます。AとBが同じ場合のHom(A, A)には恒等射が含まれ、射の合成によってモノイドになる。その中で逆射を持つものだけを集めた部分が、Aの自己同型群Aut(A)です。Hom集合には、対象間の移動だけでなく、対象が持つ対称性まで刻まれているのです。
「集合」と呼ぶために必要な局所小ささ
圏の対象や射は、あまりに多くて通常の集合に収まらない場合があります。すべての集合を対象とするSet自体が、その典型でしょう。それでも、二つの集合AとBを固定すれば、AからBへの関数全体は一つの集合として扱えます。
一般に、どの二対象A、BについてもHom(A, B)が集合になる圏を「局所小さい圏」と呼びます。圏全体が小さい必要はありません。全対象を一つの集合へ収められなくても、二点間の射だけなら集合として管理できる、という条件です。
この記事では局所小さい圏を前提にし、Hom集合からSetへの関手を考えます。局所小ささがなければ、Homは集合より大きな集まりになるかもしれず、値域をそのままSetとは書けません。小さな技術条件に見えて、Hom関手の行き先を保証する大切な境界です。
関数の個数だけでは見えない始域と終域の役割
有限集合AとBの要素数をそれぞれm、nとすると、AからBへの関数はnm本あります。Aの各要素について、行き先をBのn個から選ぶためです。この計算はHom集合の大きさを教えてくれますが、圏論が必要とする情報は本数だけではありません。
たとえば、同じ本数の射を持つHom集合が二つあっても、前後に別の射を合成したときの動きは異なるかもしれません。どの射がどの射へ移るのか、恒等射と合成を保つのか。これらを捨てて濃度だけを比べると、対象が圏の中で果たす役割を取り逃がします。
Hom集合を静止画とするなら、Hom関手は対象の変化に応じた移り変わりまで含む映像に近いでしょう。ただし、本質は比喩ではなく合成の規則。射を合成できることが、一つのHom集合から別のHom集合への関数を生みます。
始点Aを固定して射を先へ運ぶHom(A,−)
始点Aを固定し、終点Xだけを動かしてみましょう。それぞれのXに対してHom(A, X)を割り当てます。さらに射f: X → Yがあれば、AからXへの射g: A → Xの後ろにfを合成し、f ∘ g: A → Yを作れます。
したがって、fはHom集合の間にHom(A, X) → Hom(A, Y)という関数を誘導します。写し方はg ↦ f ∘ g。XからYへ進むfと同じ向きにHom集合も移るため、Hom(A,−): C → Setは共変関手になるわけです。
恒等射を後ろに合成してもgは変わらず、二本の射を続けて合成した場合も、Hom集合上の関数を同じ順で続けた結果と一致します。これは関手が恒等射と合成を保つという二条件そのもの。Hom(A,−)は、圏の公理からほとんど自動的に生まれる関手なのです。
終点Bを固定して射を手前へ戻すHom(−,B)
今度は終点Bを固定し、始点Xを動かしましょう。射f: X → Yと、YからBへの射h: Y → Bがあれば、fを手前に合成してh ∘ f: X → Bを作れます。するとHom集合の間には、Hom(Y, B) → Hom(X, B)という関数が生じます。
もとのfはXからYへ向かうのに、Hom集合上の関数はY側からX側へ戻ります。これが反変関手の動き。反対圏を使えば、Hom(−,B): Cop → Setという通常の共変関手として表せます。
向きが逆になるのは、hの後ろへfを付けられないためです。合成可能な並びはX → Y → Bであり、YからBへの射をXからBへの射へ引き戻す構図。「どちらの変数を固定したか」が、Hom関手の向きを決めるのです。
g ↦ f ∘ g
fと同じ向き
h ↦ h ∘ f
fと反対の向き
二つの変数を同時に動かすHom双関手
二種類のHom関手は、別々の仕組みではありません。始点と終点の両方を動かす一つの双関手HomC: Cop × C → Setの二つの断面です。第一変数では反変、第二変数では共変という向きの違いが、式のCop × Cに表れています。
具体的には、射u: A′ → Aとv: B → B′があるとき、h: A → Bをv ∘ h ∘ u: A′ → B′へ送ります。始点側ではuを手前に付け、終点側ではvを後ろに付ける操作です。
結合律があるため、u、h、vをどの括り方で合成しても結果は変わりません。可換図式を使えば、始点側を先に動かしても終点側を先に動かしても、最後の射が一致すると表せます。Hom双関手は、射の合成が二方向に整合していることをSetの中へ写し取ります。
一点集合からXへの関数として現れる通常の要素
Setで一点集合1 = {★}を考えましょう。関数x: 1 → Xは、★の行き先としてXの要素を一つ選ぶだけ。そのため、HomSet(1, X)とXの要素全体の間に、自然な一対一対応が得られます。
この対応が示すのは、圏論が要素を禁止しているわけではないということです。要素x ∈ Xを、射x: 1 → Xとして言い換える発想。集合の内部に点を置く代わりに、終対象1からXへ入る矢印で点を表せます。
しかも関数f: X → Yを合成すれば、x: 1 → Xはf ∘ x: 1 → Yへ移ります。これは通常の要素xをf(x)へ送る操作にほかなりません。要素と関数の働きが、Hom(1,−)という一つの関手へまとまります。
二点集合が分ける順序対と部分集合
二点集合2 = {0, 1}を使うと、射の向きによって異なる情報が現れます。2からXへの関数は、0と1の行き先を一つずつ選ぶため、Xの要素の順序対(x0, x1)との対応関係。つまり、Hom(2, X) ≅ X × Xとなります。
向きを逆にしてXから2への関数を考えると、今度はXの各要素を0と1のどちらかへ分類することになります。1へ送られる要素だけを集めればXの部分集合が得られ、どの部分集合からも特性関数を作れる。したがって、Hom(X, 2)はXの冪集合P(X)と一対一に対応するわけです。
同じ二点集合でも、そこから出る射は二つの位置を持つデータを、そこへ入る射は二分された領域を表します。Homの引数の順序は記号上の都合ではありません。何を試験し、何を観測するかという役割の違いを担っています。
整数群Zが群Gから取り出す一つの元
一点集合の方法は、ほかの圏へそのまま移せるとは限りません。Grpの終対象は自明群ですが、自明群から群Gへの準同型は常に一本しかなく、Gの個々の元を区別できないからです。集合で点を取り出した1が、群の圏でも同じ検査能力を持つわけではありません。
群Gの元を射として表すには、整数の加法群Zを使いましょう。群準同型φ: Z → Gは、1の像g = φ(1)を決めれば、φ(n) = gnとしてすべて決まります。逆にGの任意の元gから、そのような準同型が一本得られるのです。
したがって、HomGrp(Z, G)はGの台集合と対応します。Zは単なる一点ではなく、「一つの元を自由に生成する群」。圏ごとに適切な試験対象を選べば、その圏の構造を守ったまま要素に相当する情報を取り出せるわけです。
開集合を検出するシェルピンスキー空間
Topでは一点空間からXへの連続写像がXの点に対応します。しかし、点の集合が同じでも位相が違う空間は多数あります。Hom(1, X)だけでは台集合しか分からず、どの部分集合が開いているかまでは判定できません。
そこで、二点からなるシェルピンスキー空間Sを使います。S = {0, 1}に、∅、{1}、Sだけを開集合とする位相を入れた空間。連続写像χ: X → Sがあれば、{1}の逆像χ−1({1})はXの開集合になります。逆にXの開集合Uがあれば、U上で1、それ以外で0を取る特性写像は連続です。
その結果、HomTop(X, S)はXの開集合全体と自然に対応します。Setでは離散的な二点集合への関数があらゆる部分集合を分類し、TopではSへの連続写像が開集合だけを分類する。射に連続性を課したことが、Hom集合の違いとしてはっきり現れる例です。
試験対象から入る射としての一般化された要素
一点集合からXへの射を要素とみなす発想を広げ、任意の対象TからXへの射T → Xを「一般化された要素」と呼ぶことがあります。Tは点の代わりに、線、局所領域、パラメータ空間、自由に生成された構造などを担う試験対象です。
通常の要素が一か所だけを指定するのに対し、一般化された要素はTが持つ構造を保ちながらXの一部分を探ります。位相空間なら、区間IからXへの連続写像はX内の道を表し、可換単位環の圏なら多項式環Z[x1, …, xn]からRへの準同型がRの元のn組を指定する。試験対象を変えるたび、Xの別の側面がHom(T, X)へ現れるのです。
ただし、「外から眺めれば中身は不要」という意味ではありません。何を試験対象とし、何を射とするかは、圏を選んだ時点ですでに決まっています。一般化された要素が見せるのは、その観測方法に応答する対象の構造なのです。
射の本数ではなく自然な変化が対象を識別する
対象Aを調べるため、すべてのXについてHom(X, A)の要素数だけを記録したとしましょう。それだけでは、どの射に沿って一般化された要素がどう移るかが抜け落ちます。同じ濃度の集合が並んでいても、合成による移り方が違えば、関手としては別物です。
重要なのは、Xを動かしたときHom(X, A)がどのように変化するかを、すべての射について一貫して記録することです。関手は恒等射と合成を保つため、ばらばらの一覧ではなく、圏C全体にわたる整合した観測になります。
この点は、圏論を「関係の思想」へ広げすぎないためにも重要です。対象を特徴づけるのは、曖昧な「つながり」ではありません。始域と終域を持つ射、合成、そしてそれらに対して自然に振る舞うHom関手という、厳密なデータです。
積と余積の普遍性を翻訳するHom集合の等式
積A × Bの普遍性は、任意のXからAとBへの二本の射が、XからA × Bへの一本の射に一意にまとまることでした。Hom集合で書けば、Hom(X, A × B) ≅ Hom(X, A) × Hom(X, B)という自然な一対一対応になります。
余積では向きが反転し、Hom(A ⊔ B, X) ≅ Hom(A, X) × Hom(B, X)です。積は「積へ入る射」を、余積は「余積から出る射」を調べることで役割が定まる。存在と一意性を文章で述べた普遍性が、Hom集合の自然な同型として簡潔に表されるわけです。
ここで「自然な」という条件は飾りではありません。Xを別の対象へ動かしても、この一対一対応が合成と両立する必要があります。対象ごとに偶然同じ本数になるだけでは、普遍性を表したことにならないからです。
一つの対象から生まれる表現可能関手
Hom(−, A)やHom(A,−)は、一つの対象Aを固定するだけで得られるSet値関手。このように、ある対象との間のHom集合によって表される関手を、表現可能関手と呼びます。共変側をcorepresentableと区別する流儀もあり、用語は文献によって少し異なる点に注意が必要です。
重要なのは名前より、複雑に見える関手F(X)が「Aとの間の射」として説明できる点です。シェルピンスキー空間Sが開集合の関手を表し、多項式環が元の組を選ぶ関手を表すように、抽象的なデータの割り当てが一つの対象へ凝縮されます。
次の表現可能関手の記事では、この「関手を対象で表す」とは何を要求するのか、表す対象がなぜ一意な同型まで決まるのかを詳しく扱います。Hom関手は、その議論の比較対象ではなく、表現可能性そのものを定義する基準です。
ヨネダの補題へ続く射による対象の記録
すべてのXに対するHom(X, A)と、Xを動かす射に対する振る舞いをまとめると、対象Aは一つの関手としてSetの世界へ移されます。ヨネダの補題は、この移し替えが対象と射の情報を失わないことを保証します。
とはいえ、「Hom集合を数えればAの内部が復元できる」という意味ではありません。必要なのは、全対象XからAへ入る射と、その射が合成によってどう変わるかを備えた関手全体です。さらに、二つのHom関手の間の自然変換まで含めて比較します。
Hom集合からHom関手へ進む理由が、ここにあります。対象を射で調べる圏論の方法は、射を並べただけの関係表ではなく、合成に耐える観測の体系。その精度が、表現可能関手とヨネダの補題を圏論の中心へ押し上げているのです。
集合に収まらないHomと豊穣圏への広がり
通常の圏論では、局所小さい圏のHomを集合として扱います。しかし、二対象間の射が単なる集合以上の構造を持つ場面も珍しくありません。線形写像全体がベクトル空間になったり、写像の集まりに位相が入ったりするためです。
こうした構造を捨てず、Homを別の圏の対象として持たせる考え方が豊穣圏です。たとえばHomがベクトル空間なら、射の加法やスカラー倍まで圏の構造へ組み込める。Hom集合は終着点ではなく、「二対象間の関係そのものに、どこまで構造を持たせるか」という拡張の出発点でもあります。
入門段階では、まずHom(A, B)を射の集合として正確に扱えば十分でしょう。そのうえで、Hom(A,−)は同じ向き、Hom(−,B)は反対向きに動くことを押さえる。この二方向の関手性が、より高度な圏論でも繰り返し現れる基本形です。
対象の正体を射の動きとして捉えるHom関手
Hom集合は、AからBへ許された射を集めます。Hom関手は、AやBを別の対象へ動かしたとき、その射の集まりが合成によってどう移るかまで記録します。固定するのが始点なら共変、終点なら反変。この向きの違いは、合成できる順序から必然的に生まれます。
一点集合は集合の要素を、整数群Zは群の元を、シェルピンスキー空間は位相空間の開集合を検出しました。対象に直接ラベルを貼るのではなく、適切な試験対象との射を通して性質を表す方法です。そして、試験対象をすべて動かしたときの自然な振る舞いまで残せば、対象そのものを識別できるほど精密な記録になります。
圏論が「対象より矢印を見る」とき、見ているのは矢印の本数だけではありません。どの対象からどの対象へ向かい、別の射との合成でどう運ばれるのか。その全体を関手として束ねるところに、Homという短い記号の本当の力があります。