圏論の本を開くと、AやBと書かれた記号の間を、矢印が三角形や正方形に結んでいます。見た目は路線図に似ていますが、駅の位置や道の長さを示す図ではありません。そこに圧縮されているのは、矢印をつないでできる「合成射」の等式です。
可換図式とは、同じ出発点から同じ到着点へ向かう複数の道順について、それぞれの矢印を合成した結果が等しいことを表す図です。線がつながっているだけでは可換にならず、等しさは証明するか、定義の一部として要求しなければなりません。図式の見方が分かると、圧迫感のあった矢印の群れが、複数の操作に矛盾がないことを示す精密な文章に変わります。
可換図式が表すのは合成射の等式
圏に射 f: A → B と g: B → C があれば、二本をつないだ合成射 g ∘ f: A → C を作れます。ここでAからCへ直接向かう射 h: A → C も用意されているなら、比較すべきは g ∘ f と h。両者が等しいとき、A、B、Cを結ぶ三角形は可換です。
「どの道を通っても同じ」という説明は直感的ですが、「同じ」の対象を明確にしなければなりません。比べているのは、移動時間や途中の景色ではなく、合成した射そのもの。可換図式は、空間上の近さを表す絵ではなく、射の等式を二次元に配置した記法なのです。
始点と終点の一致だけでは足りない
同じAから同じBへ向かう射は、一本とは限りません。実数から実数への関数なら、x ↦ x + 1 も x ↦ 2x も、始域と終域は同じです。しかし、たとえばx = 3では一方が4、もう一方が6を返すため、二つの関数は等しくありません。
図式で二つの道順が同じ終点に集まっていても、それだけで可換と判定することはできません。必要なのは、二つの経路に沿って射を順に合成し、同じ始域と終域を持つ平行射として等しいと確かめることです。矢印の配置は問題を示しますが、その配置自体が答えを保証するわけではありません。
三角形に圧縮される「直接」と「経由」の一致
最も小さな可換図式の一つが三角形です。AからBへf、BからCへg、AからCへhがあるとき、可換条件は h = g ∘ f。図の斜めの矢印hは、上辺と右辺を通る二段階の操作を、一本の射として表しています。
この三角形から分かるのは、可換性が「二つの操作の順序を入れ替えられる」という意味に限らないことです。一方は一段階、もう一方は二段階でもかまいません。通過する対象の数が違っても、合成後の射を同じ水準で比較できるのが、合成の力です。
正方形の二経路を結ぶ一本の等式
圏論で頻繁に現れるのは、四つの対象と四本の射からなる正方形です。AからBへf、BからDへkと進む上・右の経路が一つ。もう一つは、AからCへh、CからDへgと進む左・下の経路です。
f→
B
h↓
k ∘ f
=
g ∘ h
k↓
C
g→
D
数式の順序には注意が要ります。k ∘ f は、紙の上では右から左へ記号が並びますが、実行するのはf、続いてkです。図で矢印をたどる順序と、合成記号を読む向きが逆に見えることが、初学者を戸惑わせる一因でしょう。矢印の向きに沿って操作を並べ、最後に式へ直すと、取り違えを防げます。
摂氏・華氏・ケルビンの変換で確かめる可換性
具体的な関数で、三角形の可換性を確かめてみましょう。摂氏温度cを華氏へ変える関数を f(c) = 9c/5 + 32、華氏温度tをケルビンへ変える関数を g(t) = 5(t – 32)/9 + 273.15 とします。摂氏からケルビンへ直接変える関数は h(c) = c + 273.15 です。
fの後にgを適用すると、g(f(c)) = 5((9c/5 + 32) – 32)/9 + 273.15 = c + 273.15。これはh(c)と等しいため、華氏を経由する道と、摂氏からケルビンへ直接進む道は、実数上の関数として一致します。可換の判定は、代表的な温度を一つ試すだけでは不十分です。すべてのcに対し、合成した関数が同じ値を返すことが必要になります。
ただし、コンピュータ上の浮動小数点数では丸め誤差が入り、二つの計算結果がビット単位で一致しない場合もあります。実数の関数としての可換性と、特定の数値表現を使った実装の一致は別の問題です。図式が可換だからといって、現実の計算が誤差を持たないとは結論できません。
図に描かれない合成射まで含む図式
実際の圏論の図では、合成して得られる矢印をすべて描きません。正方形のAからDへは k ∘ f と g ∘ h がありますが、対角線上に二本を重ねて描くと、かえって図が込み入ります。辺を作る射と可換条件が分かれば、対角線は省くのが通例です。
形式的には、圏Cの中の図式は、「索引圏」または「図式の形」と呼ばれる小さな圏JからCへの関手 F: J → C として定義されます。Jに「二つの経路の合成は等しい」という関係が入っていれば、関手はその等式をCの中へ運びます。紙面に見える点と矢印は、図式が持つ情報のうち、理解に必要な生成部分だけを抜き出したものなのです。
可換しない図式が残す二つの異なる経路
矢印が三角形や正方形を作っていても、常に可換性が仮定されるわけではありません。正方形のk ∘ fとg ∘ hを別々の射として残すなら、図は二つの処理手順の違いを記録します。どの条件を加えれば両者が一致するのか、またはその差を別の構造でどう測るのか。非可換の図式は、そうした問いの出発点になります。
形だけが同じ二つの正方形でも、索引圏が経路の等式を持つかどうかで意味は異なります。辺の四本だけから自由に経路を作るなら、二つの対角線方向の合成はまだ別物です。そこへ k ∘ f = g ∘ h という関係を加えて、初めて可換正方形の形になります。「この図式は可換とする」という一言は、絵の説明ではなく、新たな等式を導入する数学的な条件です。
可換正方形の貼り合わせが作る大きな整合性
左右に並んだ二つの正方形があり、どちらも可換だとします。左の正方形で上下の経路を置き換え、続いて右の正方形でも置き換えると、二つを囲む外側の長方形も可換になります。共通する中間の射が合成の接続点となり、局所的な等式が外周の長い等式へ広がるためです。
この「貼り合わせ」があるため、可換図式は大規模な証明でも役立ちます。大きな図式のあらゆる経路を一度に比べる代わりに、小さな三角形や正方形の可換性を順に確かめれば、全体の整合性まで組み立てられるのです。証明を部品化して再利用する圏論の発想が、図式の幾何学的な見た目にも現れているといえるでしょう。
関手が保つ可換図式の等式
可換する三角形で h = g ∘ f が成り立っているとします。この図式に関手Fを適用すると、等しい射は等しい射へ移り、合成は合成のまま保たれます。したがって F(h) = F(g ∘ f) = F(g) ∘ F(f)。移した先の三角形も可換です。
この性質により、ある数学的世界で確かめた整合性を、構造を保つ別の世界へ運べます。ただし、関手が保つのは、まず射の等式と合成です。積や極限のような普遍的性質まで、あらゆる関手が自動的に保つとは限りません。「図式が可換である」ことと、「その図式が特定の普遍性を持つ」ことは、分けて考える必要があるのです。
自然変換の正方形が求める操作順序の整合
自然変換の定義では、可換正方形が中心的な役割を担います。二つの関手FとGを比べるとき、対象Aごとに射 αA: F(A) → G(A) を置くのが自然変換の出発点です。射 f: A → B に対し、Fの世界を進んでからαでGの世界へ移る道と、先にαで移ってからGの世界を進む道を比べることになります。
自然性条件は αB ∘ F(f) = G(f) ∘ αA。つまり、「対象を変える」操作と「関手の間を移る」操作のどちらを先に行っても、最終的な射が一致します。「自然な対応」を印象で判定せず、あらゆるfに対する可換性として明示する。これは可換図式が圏論の文法の中心に置かれる代表例です。
普遍性に必要な可換性と一意性の組み合わせ
可換図式は、普遍性を記述する際にも欠かせません。たとえば積A×Bには、Aへの投影πAとBへの投影πBがあります。任意のXからAへf、Bへgが与えられたとき、XからA×Bへの仲介射 ⟨f, g⟩ を作り、二つの三角形を可換にします。
必要な等式は πA ∘ ⟨f, g⟩ = f と πB ∘ ⟨f, g⟩ = g。しかし、二つの三角形が可換になる射が一本見つかっただけでは、積の普遍性は完成しません。その仲介射が唯一であることまで要求されます。可換性は普遍性の条件を語る言語ですが、普遍性そのものと同義ではないのです。
図式追跡で局所的な等式を証明へつなぐ
複数の可換図式に含まれる等式を順に使い、求める射の等式や存在を示す方法は「図式追跡」と呼ばれます。基本にあるのは素朴な原理です。ある短い経路を等しい別の経路へ置き換えたあと、前後に同じ射を合成しても等式は保たれます。その置き換えを連鎖させ、長い経路同士の一致へ到達します。
アーベル群や加法圏の証明では、図式の一つの対象から元を選び、矢印に沿って像を追う技法も広く使われます。ただし、一般の圏では対象の「元」を持ち出せるとは限りません。可換図式の本質は、図の中を目で移動することではなく、合成射の等式を一段ずつ使える点にあります。
可換性と「可逆」「交換法則」「完全」の違い
「可換」という語から、矢印を逆向きにたどれると想像するかもしれません。しかし、可換図式の各射が可逆である必要はなく、逆射の存在と可換性は別の条件です。また、二つの演算のfとgを入れ替えて f ∘ g = g ∘ f とする交換法則とも、意味は一致しません。可換図式で比べる二経路は、異なる射の列であってもよいからです。
さらに、ホモロジー代数に現れる「完全列」や「完全図式」は、像と核の一致に関する追加条件を持ちます。矢印の合成が等しいことだけを述べる可換性より強い情報です。図式の脇に「可換」と書いてあっても、射が同型なのか、列が完全なのか、四角形が引き戻しなのかは、個別に示されなければ分かりません。
高次圏で「等しい」から「同型で結ばれる」へ
通常の圏における可換図式は、複数の合成射が等号で一致することを求めます。一方、2次元の射まで扱う2圏や高次圏では、二つの経路が文字どおり等しくなくても、その間を結ぶ2射が指定されていれば「2-可換」という形で整合性を記述できます。
これは初歩の可換図式を否定する拡張ではありません。むしろ、「二つの道順はどの意味で同じなのか」を、一段高い構造の中で再び問い直しています。通常の圏では等式だった整合性の証拠が、高次圏では新しい射として表に現れる。可換図式は、圏論が等しさをどこまで精密に扱おうとするかを示す入口でもあるのです。
矢印の形から合成の法則を取り出す
可換図式を目にしたとき、最初に確かめるべきなのは、同じ始点と終点を持つ経路はどれかという点です。それぞれの経路を矢印の向きに沿って並べ、合成射を式にする。その上で、等式が定義から成り立つのか、圏の公理で従うのか、別の証明が必要なのかを見分けます。
三角形は、二段階の合成と直接の射の一致を表します。正方形が担うのは、異なる二経路の整合性の比較です。小さな可換図式を貼り合わせれば、大きな証明も局所的な等式から組み立てられるでしょう。図の配置に慣れれば、その奥にあるのは一貫して合成の法則です。可換図式とは、異なる操作が一つの整った構造を作っていることを、短く、しかし曖昧さなく示す数学の文章なのです。