一個の抵抗器の性質が分かっても、回路全体の振る舞いはまだ分かりません。抵抗器、電源、端子をどの順番でつなぎ、どこを外部へ開いておくかによって、同じ部品から異なる回路が生まれるからです。ネットワークでは、部品そのものと同じくらい接続の規則が重要になります。
圏論は合成を中心に置くため、回路や信号流、化学反応網、マルコフ過程のような「部品を接続して全体を作る」対象と相性があります。ただし、圏論だけで電圧や安定性が計算できるわけではありません。接続図の圏から、その振る舞いを表す別の圏への関手を作ることで、構文と意味を分けて扱います。
閉じた回路より開いた回路を部品として考える
回路を合成可能にする鍵は、入力端子と出力端子を持つ開いた回路として捉えることです。完全に閉じた回路は一つの完成品ですが、端子を残した回路は別の回路へ接続できます。
対象を端子の型や本数、射を入力端子から出力端子への開いた回路とすれば、二つの射を端子で接続して合成できます。何もしない配線が恒等射に当たります。回路の物理的内部が複雑でも、外部との接続面をそろえれば大きなシステムの一部として再利用できるでしょう。
直列接続を表す射の合成
開いたネットワークF: X → YとG: Y → Zがあるとしましょう。Fの出力境界YとGの入力境界Yを同一視すれば、合成G∘F: X → Zができます。内部化されたYは外から見えなくなり、新しいネットワークの境界はXとZだけになるのです。
この合成が結合律を満たせば、三つのネットワークをどの括り方で接続しても同じ全体になります。実際の組立順が違っても、完成した接続構造は一致しなければなりません。これが大規模なネットワークを部分ごとに設計できる基礎になります。
並列配置を表すモノイダル積
ネットワークには直列接続だけでなく、二つの部品を横に並べる操作があります。射f: X → Yとg: X’ → Y’を並列に置けば、f⊗g: X⊗X’ → Y⊗Y’。この⊗をモノイダル積と呼びます。
直列の合成は出力と入力をつなぎ、モノイダル積は互いに接続せず並べます。二つの操作が交換法則に従って整合することで、複雑な図を小さな部品の直列・並列の組合せとして扱えます。だからこそ、モノイダル圏とストリング図がネットワークの文法になるのでしょう。
コスパンが入力・内部・出力の接続を記述する
開いたネットワークの接続形を表す道具の一つがコスパンX → N ← Yです。XとYは外部境界、Nは内部を含む節点の集合。左右の写像は各端子がNのどの節点につながるかを示します。
二つのコスパンを合成するときは、共有境界Yに沿って内部節点を貼り合わせます。この貼り合わせが、押し出しという余極限です。端子の同一視を手作業の規則にせず、普遍性を持つ標準的な構成として定められるでしょう。
装飾付きコスパンが部品の種類を加える
節点の接続だけでは、抵抗器、コンデンサー、反応、遷移といった部品の情報がありません。装飾付きコスパンでは、コスパンの頂点Nにネットワーク構造を表す装飾を載せます。
Brendan Fongの装飾付きコスパンは、有限余極限を持つ圏とラックス対称モノイダル関手から、こうした開いたシステムの対称モノイダル圏を組み立てます。接続面と内部の部品情報を分けながら、両方を合成時に正しく統合する枠組みです。
回路図の構文と電気的な意味を分ける関手
同じ接続図でも、抵抗値や部品の法則が違えば振る舞いは同じになりません。そこで回路図を射とする圏と、端子間の電位・電流の関係を射とする圏を分けます。前者から後者への対称モノイダル関手が、回路に意味を与えるわけです。
この関手は、回路を接続してから意味を計算することと、各回路の意味を求めてから関係を合成することを一致させます。構文の合成が意味の合成へ移るため、部品ごとの解析結果を大きな回路へ再利用できます。
ブラックボックス化が外部から見える振る舞いを残す
ネットワークの内部を忘れ、境界で観測できる関係だけを残す操作をブラックボックス化と呼びます。抵抗回路なら、内部の配線や素子を隠し、端子上の電位と電流の許される組合せを取り出します。
よいブラックボックス化は合成を保ちます。二つの回路を接続してから外部挙動を求めても、各回路の外部挙動を関係として合成しても同じでなければなりません。圏論は、この「内部を隠しても接続の意味が保たれる」条件を関手性として明示します。
キルヒホッフの法則を接続点へ局所化する
電気回路では、各節点で流入電流と流出電流が釣り合うキルヒホッフの電流則、閉路で電位差の和がゼロになる電圧則が使われます。これらはネットワーク全体の方程式ですが、部品と節点の局所条件から組み立てられます。
合成的な意味論では、端子変数の関係を部品ごとに持ち、接続した境界の変数を一致させて内部変数を消去します。圏論は方程式を解く数値手法そのものではありません。それでも、局所的な法則から全体の関係を作る順序を構造化します。
信号流グラフに現れるコピーと加算
信号処理のブロック図では、入力を二本へ複製し、信号を加算し、増幅し、フィードバックさせます。これらの生成部品と接続規則から、線形関係や線形写像を表す図式言語を作れます。
ストリング図の等式は、行列計算や線形システムの恒等式へ対応します。複雑な数式を図に変えれば必ず簡単になるわけではありませんが、どの部分が直列合成、並列合成、複製、統合なのかが見えるため、システムの分解と再構成に向いています。
化学反応網とマルコフ過程への広がり
同じ接続の文法は、電気回路以外にも使われてきました。化学反応網では化学種を境界として反応系を接続し、連立微分方程式や定常状態へ意味を与えます。マルコフ過程なら、状態と遷移率を持つ開いた系の接続です。
開いた系が合成問題を局所化する
閉じた系だけを研究すると、全体を変更するたびに解析をやり直しがちです。開いた系として境界変数を明示すれば、内部の法則と外部への接続条件を分離できます。別の環境へ取り付けても、部品内部のモデルをそのまま使える場合が増えるでしょう。
これはソフトウェアのインターフェースに似ていますが、圏論では比喩にとどまりません。境界を対象、開いた系を射にし、接続が本当に結合的な合成となることを示します。局所化されたモデルを再結合したとき、全体の意味がどの関手で得られるかまでが理論の一部です。
フィードバックには合成以外の構造が必要
出力の一部を入力へ戻すフィードバックは、単純な直列合成や並列積だけでは表せません。トレース付きモノイダル圏では、射A⊗X → B⊗XからXの線を閉じ、A → Bを作るトレース操作を備えます。
信号流グラフや制御系で描かれるループを抽象化できますが、任意のループが物理的に安定するわけではありません。圏論的トレースは配線の形式を与え、収束や安定性は意味側で別に確かめます。図が閉じていることと、システムが安全に動くことは同じではないのです。
各分野で意味の圏は異なります。電気回路の電位・電流関係と、化学反応の濃度変化は同じものではありません。共通するのは、開いた部品、境界での接続、並列配置、ブラックボックス化という構造です。圏論は違いを消さず、共通する合成だけを移します。
ハイパーグラフ圏が配線の分岐と合流を扱う
通常のモノイダル圏の線は、一本の入力から一本の出力へ進む形が基本です。ネットワークでは一つの端子を複数へ分けたり、複数を一つへまとめたり、内部節点を消したりする必要があります。
ハイパーグラフ圏では各対象に特別可換Frobeniusモノイドの構造が入り、線の分岐、合流、生成、消去を統一的に描けます。この追加構造によって、配線図で当たり前に行う節点の操作が代数的な法則を持ちます。
接続の正しさと物理モデルの正しさは別問題
圏論的モデルが合成を美しく扱えても、採用した物理法則や近似が現実に適切とは限りません。理想抵抗、線形性、時間不変性などの仮定が破れる領域では、意味のモデルを変える必要があります。
また、境界で観測できる挙動だけを残すと、故障箇所や内部エネルギーの分布などの情報を失います。ブラックボックス化は目的に応じた抽象化であって、完全な記述ではありません。何を保存し、何を忘れるかを明示することが、圏論を有効に使う条件です。
ネットワークを部品の寄せ集めから合成の体系へ
回路・ネットワークへの圏論の貢献は、複雑な図を難しい用語で包むことではありません。開いたシステムを射として扱い、境界での接続を合成、横並びをモノイダル積、外部挙動への移行を関手としてそろえることです。
部品のモデルが変わっても、接続の文法が保たれる場合があります。この分離によって、構文、意味、計算を別々に改善しながら全体の整合性を保てます。大規模なシステムを、再利用可能な部品と保証された合成から作る。そのための数学が、応用圏論で育っています。