反対圏と双対性 矢印を逆にすると積と余積が入れ替わる理由
反対圏は対象を変えず、射の向きと合成順を反転します。逆射との違い、双対原理、始対象と終対象、積と余積、反変関手、アフィンスキームまで説明します。
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可換図式とは何か 矢印の図が表す「二つの道順の一致」
可換図式は、同じ始点と終点を持つ複数の経路について、合成射が等しいことを表します。三角形・正方形、温度換算、関手、自然変換、普遍性から役割を説明します。
圏論を万能思想にしてはいけない 「すべてはつながる」という誤解と数学の射程
圏論は万物のつながりを説く思想ではありません。射の選択、抽象化で失う情報、同型と同値、普遍性と実装の違いから、圏論が届く範囲を明確にします。
圏論がプログラミングや論理で語られる理由 型・副作用・証明を結ぶ合成の法則
圏論は、型と関数、効果付き計算の順序、命題と証明に共通する合成法則を扱います。モナドとCurry–Howard対応を誇張なく整理します。
随伴が示す、作ることと忘れることの対称性 自由関手と忘却関手を結ぶ圏論の原理
随伴は、構造を自由に作る操作と忘れる操作の間で、二つの圏の射を自然に一対一対応させます。自由モノイド、単位・余単位、三角恒等式から説明します。
普遍性という、名前より役割で決める考え方 積・余積・自由対象を貫く圏論の発想
圏論の普遍性は、対象の中身や作り方ではなく、存在と一意性を備えた役割で対象を決めます。終対象、積、余積、自由対象を貫く原理を説明します。
自然変換が扱う「同じことをしている」の精密な意味 可換図式でわかる圏論の自然性
自然変換は二つの関手を、結果の似姿ではなく道順の整合性で比較します。一要素リスト、reverse、二重双対を例に、可換図式が示す自然性を説明します。
関手は、構造を壊さず別の世界へ移す翻訳である 圏論の橋渡しを支える二つの条件
関手は対象を対応させるだけではありません。射、恒等射、合成を保ちながら、群から集合、空間から代数、型からリスト型へ構造を移す仕組みを説明します。
合成できることが、世界を一つの構造にする 圏論の「つなげられる操作」
AからB、BからCへ進めるなら、二つの射を合成してAからCへ進めます。この素朴な操作が、部品化、結合律、可換図式、モノイド、関手を支える理由を説明します。
集合・図形・命題・プログラムが同じ舞台に上がる理由 世界ごとに変わる圏論の矢印
集合の関数、位相空間の連続写像、命題の推論、プログラムの型付き関数は、なぜ圏論で同じ舞台に上がるのでしょうか。世界ごとに変わる矢印の意味と共通する構造を説明します。