圏論が変えるのは、答えではなく問いの立て方
圏論は個別の答えを置き換えず、関係、合成、普遍性、自然性、保存性を問う視点を加えます。抽象化の価値と限界をシリーズの結びとして整理します。
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最初に身につけるべき圏論の見方 矢印・合成・普遍性をどう捉えるか
圏論で対象の正体を急がず、射、合成、可換図式、普遍性、保存性を順に確かめる方法を、同型、Hom関手、随伴、反例とともに整理します。
モナドとは何か 計算をつなぐ規則として理解する
モナドは自己関手、単位、乗法からなり、効果付き計算を合成します。Maybe、List、状態、Kleisli圏、随伴、モナド代数から説明します。
モノイダル圏とストリング図 並列と接続を描いて考える数学
モノイダル圏は合成に並列操作を加え、ストリング図は射を箱と線で表します。コヒーレンス、対称性、内部Hom、双対、トレースまで説明します。
圏論と回路・ネットワーク 部品の接続から全体を組み立てる
開いた回路を射、端子を対象として、直列・並列・ブラックボックス化を合成する考え方を、コスパン、モノイダル圏、信号流から説明します。
圏論とデータベース スキーマとデータ移行を関手で捉える
データベースのスキーマを圏、実データを集合値関手として捉える方法を、外部キー、自然変換、三つのデータ移行関手、制約と限界から説明します。
極限と余極限 積・等化子・引き戻しを一つにまとめる普遍性
圏論の極限と余極限は、積、等化子、引き戻し、余積、押し出しを普遍性で統一します。錐、表現可能性、逆極限まで具体例で説明します。
ヨネダの補題とは何か 対象が射の全体から特徴づけられる理由
ヨネダの補題は、Hom関手からの自然変換を関手の一要素へ対応させます。恒等射、ヨネダ埋め込み、普遍要素、前層から本質を説明します。
表現可能関手とは何か 関手を一つの対象で表すという発想
表現可能関手は、関手の値を一つの対象とのHom集合として自然に再現します。一点集合、整数群、シェルピンスキー空間、普遍要素から役割を説明します。
Hom集合とHom関手 対象を、そこへ出入りする射から調べる
Hom集合は二対象間の射を集め、Hom関手は合成による変化まで記録します。共変・反変の違い、一点集合、冪集合、整数群、シェルピンスキー空間から役割を説明します。